“Tanrı sayıları yarattı, geri kalan her şey insan işi.”
L. Kronecker
Kronecker’in matematiksel nesnelerin inşası tartışmalarında sarf ettiği bu meşhur sözü farklı yorumlara açıktır. Hemen akla gelebilecek bir tanesi matematiği bir temele oturtma çabalarının en azından bir metafiziksel ilkeye muhtaç olduğudur. Sayıların ister biz tanımlamadan önce de orada olduklarını savunan gerçekçilerden olalım, ister onları Tanrı’nın bizlere bir hediyesi sayalım, bu ilk adımı atlasak dahi, karşımıza çıkan her matematik nesnede yeniden sormamız gereken bir soru vardır: Bu nesnenin varlığını nasıl biliyoruz?
Söz konusu nesnenin varlık biçimi bu bilgiye ulaşma yöntemi açısından iki çeşit olabilir; nesne o ana kadar bilinen diğer nesneler ve ilişkiler üzerine sonlu adımda inşa edilebilir veya edilemez. Klasik matematik her iki türden nesneleri barındırır ve bu ayrımı hayatî olarak görmez. Halbuki matematikçilerin azımsanmayacak bir kısmı sadece inşa edilebilen nesnelerin varlığını kabul ettiğinden diğer türün yani inşa edilemeyen matematiksel nesnelerin varlığından emin olmadan evvel itirazları değerlendirmek gerekir.
Matematiksel nesnelerin inşasını anlamada şu örnek yardımcı olabilir: Birim kavramını var kabul ettiğimizde sayısını ve sonra ardılı olan sayı , onun ardılı ve bu şekilde sayma sayılarını inşa edebiliriz. İstediğimiz sayma sayısına, ne kadar büyük olursa olsun, sonlu adımda ulaştığımız için bu sayı inşa edilmiştir. Tüm sayma sayılarını bir anda düşünmek ise başka bir varlık biçimini gerektirir.
1,2,3,4,…1765,…,1000000000,…,〖10679,……
Yukarıdaki dizide herhangi bir adıma gelmeden o adımdaki sayı henüz inşa edilmemiştir. Bu sebeple, istediğimiz kadar ileriye gidebileceğimizden, bu sürecin sonlanmayacağından emin olsak da varlığın sonlu adımda inşası kuralınca tüm sayıları tek bir seferde var kabul edemeyiz.
İnşacılık ve klasik matematik arasında temel tartışma konularından biri klasik mantığın bilindik ilkesi üçüncü halin imkânsızlığıdır. Üçüncü halin imkânsızlığı ilkesini “bir P önermesi doğru ise değili, ¬ P yanlıştır; yanlış ise değili doğrudur” biçimde ifade edebiliriz. P v ¬ P önermesinde “v” (veya, tikel evetleme) eklemini “bu eklemle bileştirilen iki bileşenden en az biri doğru ise bileşik önerme doğrudur” biçiminde anlarsak bu önerme geçerli bir önerme olur. Bir başka deyişle ilke P v ¬ P ile ifade edilse de ilkenin kendisinin ifadesi farklıdır. “Bir haber tümcesiyle ifade edilen herhangi bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır” biçiminde ifade edilebilen iki değerlilik ilkesi ile bu ilkeyi birbirinden ayırt etmek gerekir. İki değerlilik ilkesi her zaman üçüncü halin imkânsızlığını gerektirir, ama tersi doğru değildir. Üçüncü halin imkânsızlığı ilkesi klasik matematikte gereğinden fazla sıklıkla kullanılır. Sıklığa vurgu inşacıların tezlerini dinlenmeye değer kılan bir başka husustur.
Üçüncü halin imkânsızlığı ilkesini sistem dışı bırakmak üçüncü bir halin imkânını kabul etmek değildir. İnşacılar üçüncü halin imkânsızlığı ilkesini sadece doğruluğunu veya yanlışlığını bildikleri önermeler için kullanırlar. Bir önermenin doğruluğu biliniyorsa onun değilinin doğru olamayacağı çelişmezlik ilkesi gereği açıktır. Fakat P önermesinin doğruluğu bilinmeden değilinin doğruluğu, yani P önermesinin yanlışlığı üzerine bir yorum yapılamaz. Diğer bir deyişle, üçüncü halin imkânsızlığını kabul etmemekle hem P hem de ¬ P ’nin aynı anda var olması kastedilmez. Zira bu bir çelişki oluşturur. Meselâ, her x reel sayısı için ya x = 0 veya x ≠ 0 önermelerinden yalnızca biri mümkündür. Fakat öte yandan hangisinin doğru olduğuna sayısının ne olduğu bilinmeden karar verilemez. x sayısının neye eşit olduğunu bilmenin yolu doğrudan sayıyı hesaplamaktır. Hesaplama yöntemlerinde kullanılan bilgisayarların kapasiteleri ne kadar yüksek olursa olsun, sürecin sonlu adımda tamamlanması gerektiğinden aslında bilgisayarlar reel sayılara rasyonel sayıların sonlu dizileri ile yaklaşır. Yeterince küçük bir x sayısı bu sonlu yaklaşımda 0 gibi görünecektir. Hâlbuki gerçekte x, 0’dan farklı olabilir. İşte bu belirsizlik incelediğimiz x sayısının ne olduğunu bilemeyeceğimizi gösterir. Rasyonel olmayan reel sayıların bu şekilde inşa edilmesi mümkün değildir.
Klasik matematik, üçüncü halin imkânsızlığı da dâhil klasik mantığın ilkelerini ve Seçim Aksiyomu ile Zermelo-Frankel küme aksiyomlarını kabul eden ve matematiği bu sistem üzerine temellendiren matematik yöntemidir. 19. yüzyılın sonunda başlayan, David Hilbert’in başını çektiği ve Bertrand Russell, Gottlob Frege gibi mantıkçıların da dâhil olduğu matematiğin mantık ilkeleri üzerine temellendirilmesi çabası her ne kadar matematiği George Cantor’un küme kuramı ile aksiyomatikleştirerek sonuçta kamuoyunun desteğini kazanmış olsa da, dönemin yetkin matematikçilerinden Henri Poincaré, Herman Weyl gibi isimler ve inşacılığın bir alt kolu olan sezgiciliği tesis eden L. E. J. Brouwer’ın haşin eleştirileri ile baş etmek zorunda kalmıştır. İnşacılık o dönemde yeterince mâkes bulup kamuoyunu etkisi altına alamamıştır. Yine de 20. yüzyılın ikinci yarısından itibaren Ernest Bishop’un fikirleri öncülüğünde bu sefer sağlam temellere oturarak ve klasik matematiğe alternatifler sunarak yeniden gündeme gelmiştir.
Brouwer’ın da karşı çıktığı üçüncü halin imkânsızlığı ilkesinin neden bu kadar ilgi gördüğü ve ateşli bir şekilde savunulduğu incelenmesi gereken bir konudur. İnşacılığın ilk iddialarını ortaya attığı dönemde matematikte o zamana değin elde edilmiş sonuçların büyük kısmının geçersiz kılınacağı korkusu hâkimdi. Hilbert’in benzetmesiyle “matematikçiden üçüncü halin imkânsızlığı ilkesini almak demek astronoma teleskobunu veya boksöre yumruklarını kullanmasını yasaklamakla aynı şeydi.” İlk çabalar hakikaten alışılmadık ve sağduyuya aykırı sonuçlara yol açıyordu. Fakat günümüzde gelinen noktada inşacılık akımının mensubu matematikçiler klasik matematikte doğru olan birçok teoremi ve sonucu, kanıtlanmış kabul etmeyerek meşru saydıkları ve çoğu zaman çok daha meşakkatli yöntemlerle yeniden ispatlarlar. Bazı sonuçlar için ise tamamen yeni tanımlara ve başlangıç ilkelerine ihtiyaç vardır.
Böylesi büyük bir ayrılığa sebep olan üçüncü halin imkânsızlığı ilkesi tekil önermeler söz konusu olduğunda matematikte hayatî bir yer işgal ediyormuş gibi görünmez. Hâlbuki klasik matematiğin Antik Yunan’dan bu yana başvurduğu çelişki ile ispat ya da reductio ad absurdum tamamen bu ilkeye dayanır. Bir önermenin varlığını ispatlamak için değilinin varsayıldığı ve ardından bir çelişki ile varılan bu ispat türünde elde edilen çelişki başta yapılan varsayımın yanlış olduğunu söyler. Yani ¬ ¬ P olmalıdır. Üçüncü halin imkânsızlığı burada devreye girer ve ¬ ¬ P önermesinin P önermesine denk olduğu kabul edilir. İnşacılar işte bu denkliğe itiraz ederler. Zira bu görüş bir önermenin değilinin doğru olmamasının önermenin kendisinin doğruluğunu garantilemediğini savunur. Sonsuz bir kümenin elemanlarının bir özelliği sağladığını göstermenin bir yolu tüm elemanları tek tek kontrol etmektir. Klasik matematik cephesinde böyle eleman bazlı bir kontrol yerine hiçbir elemanın bu özelliği taşımadığını varsayıp bir çelişki elde ettiğimizde bu özelliğin en azından bir eleman tarafından sağlandığı sonucuna varırız. Oysa inşacı görüş, sonsuz bir kümedeki elemanların her birini kontrol etmenin sonlu adımda mümkün olmayacağına dayanarak böyle bir çıkarımla sonsuz kümelere bilfiil varlıkları çoktan malum imiş gibi muamele edilmesine karşı çıkar.
Çelişki ile ispat yöntemi matematik eğitiminde de yaygın kullanılan bir yöntemdir. Diğer yandan çoğunlukla tersi ile ispat (proof by negation) yöntemi ile karıştırılır. Bir P önermesi kabul edildiğinde ortaya çelişki çıkıyorsa ¬ P önermesinin doğru olduğunu söylemek tersi ile ispat demektir. Örneğin √2 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı sanılanın aksine böyle bir ispattır. İşin iyi tarafı tersi ile ispat yöntemi inşacılar tarafından da meşru görülür ve kullanılır. Haddizatında matematikte ilk bakışta çelişki yöntemini kullandığı düşünülen ispatların çoğu tersi ile ispat yöntemini kullanır.
Üçüncü halin imkânsızlığını matematikten çıkarmanın ağır bedellerinden biri de seçim aksiyomunu etkisiz kılmaktır. Seçim aksiyomu sonsuz sayıda boş olmayan kümenin her birinden bir eleman seçmenin mümkün olduğunu söyleyen bir küme kuramı aksiyomudur ve klasik matematiğin kilit taşı denecek çok sayıda teoreminin var olan ispatları bu aksiyoma muhtaçtır. Seçim aksiyomu üçüncü halin imkânsızlığı ilkesini gerektirdiğinden inşacılar için yasaklıdır. İnşacıların bir kısmı bunun yerine sayılabilir kümelere daraltılmış bir başka seçim aksiyomunu kullanmaya izin verirler. Bu sayılabilir seçim aksiyomu söz konusu teoremlerin çoğunda işe yarar.
Seçim aksiyomu ile bir kere daha karşımıza çıkan, sayılamayan sonsuzların bilfiil varlığı meselesine bir çözüm önerisi olabilecek en güçlü sonuçlardan biri Skölem-Löwenheim Teoremi’dir. Kısaca ifade etmek gerekirse; birinci dereceden mantık ile kurulmuş bir teorinin sonsuz bir modeli varsa her sonsuz kardinalite için o kardinaliteden bir modeli de vardır. Bu karmaşık ifadeli teoremin önemli sonuçlarından biri klasik matematiğin de dayandığı küme kuramının sayılabilir sonsuz bir modelinin olmasıdır. Öte yandan kendisi sayılamayan sonsuz kümeleri barındıran bu kuramın nasıl olup da sayılabilir sonsuz bir model ile ifade edilebileceği bir paradokstur. “Skölem Paradoksu” denilen bu problem henüz tam olarak çözülebilmiş değildir. Öte yandan bu paradoks aşılabilirse sayılamayan sonsuzlara ulaşmak ve onları kavramak için söz konusu teorem kullanılabilecektir. Genel olarak varlığa dair bir analoji şöyle kurulabilir: Hakkında bilgi sahibi olunamayan metafizik nesneleri sayılamaz sonsuz kümelerle ilişkilendirip nasıl bu kümeler için sayılabilir sonsuz modeller oluşturuluyorsa o metafizik nesneler için de bilinenler üzerinden bir model kurulması denenebilir. Matematiğin metafizik kuramlarla ilişkisi bağlamında geliştirilen bu yöntem, halihazırda inşacıların eleştirilerinin etkisiz hale gelmesi için yeterince dayanağa sahip olmasa da güncel bir tartışma konusu olarak varlığını sürdürmektedir.
Diğer taraftan “İnşa edilemeyen matematiksel nesneler var mıdır?” sorusunu sormak biçimselciliğin mutlak gibi algılanan matematiğini benimsemiş çoğu matematikçi için önyargı ile yaklaşılan rahatsız edici bir sorudur. Brouwer ve diğer inşacıların Hilbert’in biçimciliğine ve Cantor’un küme kuramına olan güvensizlikleriyle işleyen aletler hükmündeki teoremlerin çalışan matematikçilerin ellerinden alınacağı ve böylece bilimin dayanacağı güvenilir ve geçerli bir sistemden yoksun kalacağı kaygısı öyle dehşetli görünür ki, günümüzde matematikçilerin çoğu tartışmalara hâkim olmadan dahi inşacılığın fikirlerini görmezden gelme yolunu seçer. Hâlbuki biçimcilerin önümüze serdiği sistem matematik yapma yollarından sadece birisidir. Klasik matematiğin sağduyu ile uyumlu olduğu savı Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkışıyla hükmünü yitirmiştir. Nasıl ki Eukleides’in beşinci postulasının sistem dışı bırakılması ilkeleri ve tanımları farklı ama klasik geometriye pekâlâ alternatif oluşturacak iki yeni geometri sisteminin ortaya çıkmasını tetiklediyse, klasik mantığın ilkelerini değiştirilemez maddeler olarak savunmayı bırakıp inşacıların matematiğine bir şans vermek belki de matematiğin imkânlarının genişlemesine yol açacaktır. Dahası metafizik ile ana akım matematik arasında kurulan ve henüz yeterince ikna edici olmayan analojiler yerine kamuoyunda marjinal kalmış alternatif matematikler gündeme geldiğinde daha etkili ve tatmin eden varlık teorilerinin ortaya çıkması da mümkündür.
Hilbert, Cantor’un kümeler kuramını ve sonsuzlar hiyerarşisini matematiğin temellendirilmesi hayaline uygun bir sistem olarak gördüğünde “Cantor’un bizim için yarattığı cennetten bizi kimse kovamayacak” demişti. Andrej Bauer ise inşacı matematiğin ne olduğunu son derece sarih ve aynı zamanda eğlenceli bir şekilde açıkladığı ve 2016 yılında Bulletin of the American Mathematical Society’de yayınlanan “Five Stages of Accepting Constructive Mathematics” adlı makalesinde bizleri “Cantor’un fazla kalabalık cennetinden” dışarıya, matematiğin geri kalan kısmını keşfetmeye davet ediyor.
Denemeye değer.